Question

已知二次函数f(x)＝ax²＋x，若对任意x₁、x₂∈R，恒有2f≤f(x₁)＋f(x₂)成立，不等式f(x)＜0的解集为A.
(1)求集合A；
(2)设集合B＝{x||x＋4|＜a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．

Answer 1

（1）A＝（2）(0，－2＋]

(1)对任意x₁、x₂∈R，
由f(x₁)＋f(x₂)－2f＝ a(x₁－x₂)²≥0成立，
要使上式恒成立，所以a≥0.
由f(x)＝ax²＋x是二次函数知a≠0，故a＞0.
所以f(x)＝ax²＋x＝ax＜0.
解得A＝.
(2)B＝{x||x＋4|＜a}＝(－a－4，a－4)，
因为集合B是集合A的子集，
所以a－4≤0，且－a－4≥－.
解得－2－≤a≤－2＋.
又a＞0，∴a的取值范围为(0，－2＋]．