Question

4．已知动点P（x，y）与定点F（1，0）满足条件：以PF为直径的圆恒与纵轴相切．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设A，B是轨迹C上的两点，已知点M（-1，m）满足MA⊥MB，求△MAB的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用动点P（x，y）与定点F（1，0）满足条件：以PF为直径的圆恒与纵轴相切，建立方程，即可求动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线AB的方程为x=ky+b，与y²=4x，联立消去y得y²-4ky-4b=0，利用韦达定理，结合MA⊥MB，确定b=1，k=$\frac{1}{2}$m，再表示出面积，即可求△MAB的面积的最小值．

解答 解：（1）由题意，动点P（x，y）与定点F（1，0）满足条件：以PF为直径的圆恒与纵轴相切，
∴x+1=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
化简可得y²=4x，即为动点的轨迹的方程；
（2）设直线AB的方程为x=ky+b，与y²=4x，联立消去y得y²-4ky-4b=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4b，
由MA⊥MB得（x₁+1，y₁-m）•（x₂+1，y₂-m）=0，
∴（b-1）²+（2k-m）²=0
∴b=1，k=$\frac{1}{2}$m，
∴x=$\frac{1}{2}$my+1，y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}{m}^{2}}•\sqrt{4{m}^{2}+16}$=m²+4，
点M（-1，m）到直线的距离d=$\frac{|-2-\frac{1}{2}{m}^{2}|}{\sqrt{1+\frac{1}{4}{m}^{2}}}$=$\sqrt{{m}^{2}+4}$
△MAB的面积S=$\frac{1}{2}$|AB||d|=$\frac{1}{2}\sqrt{（{m}^{2}+4）^{3}}$
∴m=0，△MAB的面积的最小值为4．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．