Question

15．已知函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），（a＞0，a≠1）．
（1）求F（x）=f（x）+g（x）的定义域，
（2）设a=2，函数f（x）的定义域为[3，63]，求f（x）的最值，
（3）求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用对数函数有意义的条件，求F（x）=f（x）+g（x）的定义域，
（2）当a=2时，f（x）=log_a（1+x）在[3，63]上为增函数，即可求f（x）的最值，
（3）f（x）-g（x）＞0即f（x）＞g（x，分类讨论，即可求使f（x）-g（x）＞0的x的取值范围．

解答 解：（1）要使F（x）有意义，须$\left\{\begin{array}{l}1+x＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$，∴-1＜x＜1，
∴函数的定义域为（-1，1）…（3分）
（2）当a=2时，f（x）=log_a（1+x）在[3，63]上为增函数，因此当x=3时，f（x）有最小值为2，当x=63时，f（x）有最大值为6．…（7分）
（3）f（x）-g（x）＞0即f（x）＞g（x），
当a＞1时，log_a（1+x）＞log_a（1-x），满足$\left\{\begin{array}{l}1+x＞1-x\\ 1+x＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$，所以0＜x＜1，
当0＜a＜1时，log_a（1+x）＞log_a（1-x），满足$\left\{\begin{array}{l}1+x＜1-x\\ 1+x＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$，所以-1＜x＜0，
综上，a＞1时，解集为{x|0＜x＜1}，0＜a＜1时，解集为{x|-1＜x＜0}．…（13分）

点评 本题考查对数函数的性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．