Question

9．已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=1，-2a_n与a_n+1是方程x²-2ⁿx-（n+1）b_n=0的两个根．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）由题意得a_n+1-2a_n=2ⁿ，从而可得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，从而可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$n，从而解得；
（Ⅱ）由题意可得b_n=2n•2^2n-1，利用错位相减法求其前n项和即可．

解答 解：（I）∵-2a_n与a_n+1是方程x²-2ⁿx-（n+1）b_n=0的两个根，
∴a_n+1-2a_n=2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，
又∵$\frac{{a}_{1}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
故数列{a_n}是以$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
故$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$n，
故a_n=n•2^n-1，
（Ⅱ）∵-2a_n与a_n+1是方程x²-2ⁿx-（n+1）b_n=0的两个根，
∴-2a_n+1a_n=-（n+1）b_n，
∴（n+1）b_n=2（（n+1）•2ⁿ）（n•2^n-1），
故b_n=2n•2^2n-1，
设数列{b_n}的前n项和为T_n，
故T_n=2•2+4•2³+6•2⁵+…+2n•2^2n-1，
4T_n=2•2³+4•2⁵+6•2⁷+…+2n•2²ⁿ⁺¹，
两式相减得，
3T_n=2n•2²ⁿ⁺¹-2（2³+2⁵+…+2^2n-1）-4
=2n•2²ⁿ⁺¹-$\frac{16（{4}^{n-1}-1）}{3}$-4，
故T_n=$\frac{1}{3}$（2n•2²ⁿ⁺¹-$\frac{16（{4}^{n-1}-1）}{3}$-4）．

点评 本题考查了构造数列的应用及数列的通项公式及前n项和公式的应用，同时考查了错位相减法的应用．