题目内容
12．设函数f（x）=|x-a|-$\frac{3}{x}$+a，a∈R，若实数a，使得f（x）=2有且仅有3个不同实数根，且它们成等差数列，则所有a的取值构成的集合为{a|a=$\frac{5+3\sqrt{33}}{8}$或-$\frac{9}{5}$}．分析 化简函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-x-\frac{3}{x}，x≤a}\\{x-\frac{3}{x}，x＞a}\end{array}\right.$，从而不妨设f（x）=2的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，讨论以确定a的值．
解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-x-\frac{3}{x}，x≤a}\\{x-\frac{3}{x}，x＞a}\end{array}\right.$，
不妨设f（x）=2的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3
当x＞a时，f（x）=2，解得x=-1，x=3；
①a≤-1，∵x2=-1，x3=3，∴x1=-5，
由f（-5）=2，解得a=-$\frac{9}{5}$，满足f（x）=2在（-∞，a]上有一解．
②-1＜a≤3，f（x）=2在（-∞，a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3=3，
所以有x1，x2是2a-x-$\frac{3}{x}$=2的两个解，
即x1，x2是x2-（2a-2）x+3=0的两个解．
得到x1+x2=2a-2，x1x2=3，
又由设f（x）=2的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2=x1+3，
解得：a=$\frac{5+3\sqrt{33}}{8}$或$\frac{5-3\sqrt{33}}{8}$（舍去）；
③a＞3，f（x）=2最多只有两个解，不满足题意；
综上所述，a=$\frac{5+3\sqrt{33}}{8}$或-$\frac{9}{5}$．
故答案为：{a|a=$\frac{5+3\sqrt{33}}{8}$或-$\frac{9}{5}$}．
点评 本题考查了分段函数的应用及分类讨论的思想应用，同时考查了对勾函数的性质应用．
阶梯计算系列答案
如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=2，AB=1，M为AD1的中点，N在BC上，且MN∥平面DCC1D1，则BN的长为（ ）| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{2}{3}$ |
| A． | 2 | B． | $\sqrt{2}$ | C． | 2 $\sqrt{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ |
| A． | 2$\sqrt{2}$ | B． | 2$\sqrt{3}$ | C． | 8 | D． | 12 |
| A． | $\frac{1}{6}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{1}{4}$ |