Question

如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，ED=2

2

，M为CE的中点，N为CD中点．
（1）求证：平面BMN∥平面ADEF；
（2）求证：平面BCE⊥平面BDE；
（3）求点D到平面BEC的距离．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由MN∥ED，得MN∥平面ADEF，得平面BMN∥平面ADEF；
（2）由题意得ED⊥BC，得BC⊥BD，从而得BC⊥平面BDE．进而平面BCE⊥平面BDE，
（3）设点D到平面BEC的距离为h，转化为V_D-BEC=V_E-BCD，从而求出h的值．

解答： （1）证明：在△EDC中，M，N分别为EC，DC的中点，
所以MN∥ED，又DE?平面ADEF，且MN?平面ADEF，
所以MN∥平面ADEF；
因为N为CD中点，AB∥CD，AB=2，CD=4，
所以四边形ABND为平行四边形，所以BN∥DA，
又DA?平面ADEF，且BN?平面ADEF，
所以BN∥平面ADEF，
∵BN∩MN=N，EN，MN?面BMN，
∴平面BMN∥平面ADEF；
（2）证明：在矩形ADEF中，ED⊥AD．又
因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2

2

．
在△BCD中，BD=BC=2

2

，CD=4，因为BD²+BC²=CD²，
所以BC⊥BD．
因为BD∩DE=D，所以BC⊥平面BDE．
因为BC?面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE，
（3）设点D到平面BEC的距离为h，
则V_D-BEC=V_E-BCD，
求得h=2．

点评：本题考查了面面平行，面面垂直的判定，考查转化思想，是一道综合题．