Question

如图，AB是圆O的直径，AB=5，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上一点，AC=PA=4，求：
（1）直线PA与BC所成的角；
（2）二面角P-BC-A的大小；
（3）三棱锥A-PBC的体积．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）判定PA⊥BC，即可得到直线PA与BC所成的角；
（2）求出二面角P-BC-A的平面角，即可求出二面角的大小；
（3）根据三棱锥A-PBC的体积公式，即可得到结论．

解答： 解：（1）由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
得PA⊥BC．
∴直线PA与BC所成的角为90°．
（2）由AB是圆的直径，得AC⊥BC，
又PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC．则BC⊥PC．
即∠PCA是二面角P-BC-A的平面角，
∵AC=PA=4，
∴tan∠PCA=

PA

AC

=1，即∠PCA=

π

4

．
（3）∵AB=5，AC=4，
∴BC=3，即△ABC的面积S=

1

2

×3×4=6，
则∵三棱锥A-PBC的体积等于三棱锥P-ABC的体积，
∴V=

1

3

×S△ABC×PA=

1

3

×6×4=8，
故三棱锥的体积为8．

点评：本题考查的知识点是二面角的求解，棱锥的体积，其中熟练掌握空间线线垂直，线面垂直的判定是解决本题的关键．