Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱为2，底面是边长为2的等边三角形，D，E分别是线段BC，B₁C₁的中点．
（1）证明：A₁E∥平面AC₁D；
（2）证明：平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁；
（3）求三棱锥B-AC₁D的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）先证明出四边形ADEA₁是平行四边形推断出A₁E∥AD，利用线面平行的判定定理推断出A₁E∥平面AC₁D．
（2）先证明出AD⊥BC，CC₁⊥AD利用线面垂直的判定定理证明出AD?平面AC₁D，则平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁可证．
（3）根据等边三角形的三边长求得△ADB的面积，已知棱锥的高为2，利用棱锥的体积公式求得答案．

解答： （1）证明：连接ED，则ED∥BB₁∥AA₁，且ED=BB₁=AA₁
∴四边形ADEA₁是平行四边形，A₁E∥AD，
∵AD?平面AC₁D，A₁E?平面AC₁D，
∴A₁E∥平面AC₁D．
（2）证明：∵△ABC是等边三角形
∴AD⊥BC，
∵CC₁⊥平面ABC，AD?平面ABC
∴CC₁⊥AD，
∵BC∩CC₁=C，
∴AD⊥平面BCC₁B₁
∵AD?平面AC₁D
∴平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁
（3）解：BD=1，三棱锥B-AC₁D的体积VB-AC1D=VC1-ABD=

1

3

×

1

2

BD•AD•CC1=

1

3

×

1

2

×1×

3

×2=

3

3

点评：本题主要考查了线面平行的判定定理，面面垂直的判定．考查了学生立体几何基础知识的综合运用．