Question

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AD=

1

2

CD=2，点M在线段EC上，
（Ⅰ）求证：BF∥平面CDE；
（Ⅱ）若AB=2，三棱锥M-BDE的体积为

4

3

，求二面角M-BD-E的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由AF∥DE，得AF∥平面CDE，同理：AB∥平面CDE，由此能证明平面ABF∥平面CDE，从而得到BF∥平面CDE．
（Ⅱ）分别以DA、DC、DE所在的直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BD-E的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵AF∥DE，AF?平面CDE，DE?平面CDE，
∴AF∥平面CDE，
同理：AB∥平面CDE，又AF∩AB=A
∴平面ABF∥平面CDE
又BF?平面ABF，
∴BF∥平面CDE．…（4分）
（Ⅱ）∵平面ADEF⊥平面ABCD于AD，
∴ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD，
分别以DA、DC、DE所在的直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，
则D（0，0，0）B（2，2，0）E（0，0，2）C（0，4，0）
∵点M在线段EC上，∴设M（0，λ，2-

λ

2

）（0≤λ≤4），

ME

=(0，-λ，

λ

2

)，

DB

=(2，2，0)，

DE

=(0，0，2)，
设平面

n

=(x，y，z)是平面BDE的一个法向量，
则

n • DB =2x+2y=0 n • DE =2z=0

，取x=1，得

n

=(1，-1，0)，
点M到平面BDE的距离d=

| ME • n |

| n |

=

|λ|

2

=

λ

2

，
∵三棱锥M-BDE的体积为

4

3

，
∴VM-BDE=

1

3

S△BDE•d=

1

3

×

1

2

×BD•DE•

λ

2

=

2

3

λ=

4

3

，
解得λ=2，∴M（0，2，1），∴

DM

=（0，2，1），
设

m

=(a，b，c)是平面MBD的一个法向量，
则

m • DB =2a+2b=0 m • DM =2b+c=0

，取a=1，得

m

=(1，-1，2)，…•（10分）
设二面角M-BD-E的大小为θ，
则cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=}=|

1+1+0

2 × 6

|=

3

3

，
∴二面角M-BD-E的余弦值为

3

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．