Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，CC₁=4，点E在棱DD₁上，．
（1）若BD₁∥平面ACE，求三棱锥E-ACD的体积；
（2）若DE=1，求二面角B₁-AC-E的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结BD交AC于O，连结EO，由已知得E为DD₁中点，由此能求出三棱锥E-ACD的体积．
（2）由已知得∠B₁OE为二面角B₁-AC-E的平面角，由此能求出二面角B₁-AC-E的余弦值．

解答： 解：（1）连结BD交AC于O，连结EO，
∵BD₁∥平面ACE，∴BD₁∥EO，又O为AC中点，
∴E为DD₁中点，…（4分）
∴三棱锥E-ACD的体积V=

1

3

ED×S△ACD=

4

3

．…（6分）
（2）∵△B₁AC与△EAC都为等腰三角形，O为AC中点，
连结B₁O，EO，则B₁O⊥AC，EO⊥AC，
∴∠B₁OE为二面角B₁-AC-E的平面角，…（9分）
在△B₁OE中，EO=

3

，B1O=3

2

，B₁E=

17

，
由余弦定理，得cos∠B1OE=

6

9

，
∴二面角B₁-AC-E的余弦值为

6

9

．…（12分）

点评：本题考查三棱锥的体积的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．