Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n+n=

3

2

a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=a_n+λ•（-2）ⁿ且数列{b_n}为递增数列，求λ的取值范围；
（Ⅲ）设数列{c_n}满足c_n=

an

an+1

，求证：

n

3

-

1

8

＜c₁+c₂+…+c_n＜

n

3

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由S_n+n=

3

2

a_n．得n≥2时，sn-1+n-1=

3

2

an-1，两式作差可得数列{a_n+1}是公比为3的等比数列，即可求得结论；
（Ⅱ）由题意可得b_n+1-b_n＞0，即2×3^n-1＞λ（-2）ⁿ，对任意的n∈N^*恒成立，即可解得结论；
（Ⅲ）由c_n=

an

an+1

=

3n-1

3n+1-1

，放缩即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：∵S_n+n=

3

2

a_n．①
∴n=1时，a₁+1=

3

2

a1，∴a₁=2，
n≥2时，sn-1+n-1=

3

2

an-1，②
由①-②得，a_n+1=

3

2

an-

3

2

an-1，即a_n=3a_n-1+2，
∴a_n+1=3（a_n-1+1），
∴数列{a_n+1}是公比为3的等比数列，又a₁+1=3，
∴a_n+1=3×3^n-1，∴an=3n-1．
（Ⅱ）解：∵数列{b_n}满足b_n=a_n+λ•（-2）ⁿ且数列{b_n}为递增数列，
∴b_n+1-b_n＞0，即a_n+1+λ•（-2）ⁿ⁺¹-a_n-λ•（-2）ⁿ＞0，
∴3ⁿ-3^n-1＞λ（-2）ⁿ，
即2×3^n-1＞λ（-2）ⁿ，对任意的n∈N^*恒成立，
∴-(

3

2

)n-1＜λ＜(

3

2

)n-1，∴-1＜λ＜

3

2

．
（Ⅲ）证明：c_n=

an

an+1

=

3n-1

3n+1-1

=

1

3

-

2

3

•(

1

3n+1-1

)＜

1

3

，
∴c₁+c₂+…+c_n＜

n

3

，
又∵c_n=

an

an+1

=

3n-1

3n+1-1

＞

3n-1

3n+1

=

1

3

-

1

3n+1

＞

1

3

-

1

2n+1

，
∴c₁+c₂+…+c_n＞

n

3

-

1 32 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

n

3

-

1

6

（1-

1

3n

）＞

n

3

-

1

6

．
∴

n

3

-

1

6

＜c₁+c₂+…+c_n＜

n

3

．

点评：本题主要考查等比数列的定义及递增数列的性质和不等式的证明等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，属于难题．