题目内容

4．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）中的a，b，c均为奇数，求证：方程f（x）=0无整数根．

分析 先假设有整数根，可从奇数和偶数两个方面讨论，如果与题设矛盾，则假设不成立，进而证明题设．

解答 证明，假设方程存在实数根x为整数，则ax2+bx+c=0，∴c=-（ax2+bx）
若x是偶数，则ax2，bx是偶数，ax2+bx是偶数，从而c是偶数，与题设矛盾、
若x是奇数，则ax2，bx是奇数，ax2+bx是偶数，从而c是偶数，与题设矛盾．
综上所述，方程ax2+bx+c=0没有整数根．

点评 本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．

练习册系列答案
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