Question

20．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）经过点A（2，3），离心率$e=\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若∠F₁AF₂的角平分线所在的直线l与椭圆E的另一个交点为B，C为椭圆E上的一点，当△ABC的面积最大时，求C点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件列出方程组，求出a，b即可得到椭圆方程．
（2）求出焦点坐标，得到直线AF₁的方程，直线AF₂的方程，设P（x，y）为直线l上任意一点，利用$\frac{|3x-4y+6|}{{\sqrt{{3^2}+{{（-4）}^2}}}}=|x-2|$，求出直线l的方程为2x-y-1=0．设过C点且平行于l的直线为2x-y+m=0，联立直线与椭圆方程的方程组，求出m然后求解C点的坐标．

解答 解：（1）由椭圆E经过点A（2，3），离心率$e=\frac{1}{2}$，
可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1\\ \frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{1}{4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=16\\{b^2}=12\end{array}\right.$
∴椭圆E的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．
（2）由（1）可知F₁（-2，0），F₂（2，0），
则直线AF₁的方程为$y=\frac{3}{4}（x+2）$，即3x-4y+6=0，
直线AF₂的方程为x=2，
由点A在椭圆E上的位置易知直线l的斜率为正数．
设P（x，y）为直线l上任意一点，
则$\frac{|3x-4y+6|}{{\sqrt{{3^2}+{{（-4）}^2}}}}=|x-2|$，解得2x-y-1=0或x+2y-8=0（斜率为负数，舍去）．
∴直线l的方程为2x-y-1=0．
设过C点且平行于l的直线为2x-y+m=0，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\\ 2x-y+m=0\end{array}\right.$整理得19x²+16mx+4（m²-12）=0，
由△=（16m）²-4×19×4（m²-12）=0，解得m²=76，
因为m为直线2x-y+m=0在y轴上的截距，
依题意，m＞0，故$m=2\sqrt{19}$．解得x=$-\frac{16\sqrt{19}}{19}$，y=$\frac{6\sqrt{19}}{19}$．
∴C点的坐标为$（-\frac{{16\sqrt{19}}}{19}，\frac{{6\sqrt{19}}}{19}）$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．