Question

已知函数f（x）=

3

2

x²+2ax-a²lnx-1
（1）a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若不等式2xlnx≤xf′（x）+a²+1恒成立，其中f′（x） f（x）是f（x）的导数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的概念及应用

分析：（1）求出f′（x）=3x+2a-

a2

x

，（x＞0），分类讨论当a＜0时，当a＞0时，解不等式即可．
（2）构造函数h（x）=lnx-

3x

2

-

1

2x

，h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

，求解最大值，即可求解a的取值范围．

解答： 解：（1）以题意得：函数的定义域为：（0，+∞），
∵函数f（x）=

3

2

x²+2ax-a²lnx-1，
∴f′（x）=3x+2a-

a2

x

，（x＞0），
由f′（x）=3x+2a-

a2

x

=0，（x＞0），
得出：x=-a，x=

a

3

，
当a＜0时，由f′（x）＜0（x＞0），得0＜x＜-a，
由f′（x）＞0（x＞0），得x＞-a，
∴函数f（x）=

3

2

x²+2ax-a²lnx-1，单调递增为（-a，+∞），单调递减为（0，-a，）；
当a＞0时，由f′（x）＜0，（x＞0），
得：0＜x＜

a

3

，
由f′（x）＞0，（x＞0），得x＞

a

3

；
∴函数f（x）=

3

2

x²+2ax-a²lnx-1，单调递增为（

a

3

，+∞），单调递减为（0，

a

3

），
（2）以题意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤xf′（x）+a²+1恒成立，
等价于2xlnx≤²+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，
可得：a≥lnx-

3x

2

-

1

2x

，在（0，+∞）上恒成立，
设h（x）=lnx-

3x

2

-

1

2x

，h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

，
h′（x）=0，得：x=1，x=-

1

3

（舍去），
当0＜x＜1时，h′（x）＞0，
当x＞1时，h′（x）＜0，
∴当x=1时，h（x）_max=-2，
∴a≥-2，
∴实数a的取值范围：（-2，+∞）．

点评：本题考查了利用导数在函数单调性中的应用，运用导数求解函数最值，解决不等式恒成立问题，属于难题．