题目内容
已知△ABC的周长是8，顶点B与C的坐标分别是（0，-1）和（0，1）
（1）求顶点A的轨迹E的方程
（2）过点P（-2，1）作直线l与（1）中的曲线E交于M，N两点，若P恰为弦MN的中点，求直线l的方程．
（1）求顶点A的轨迹E的方程
（2）过点P（-2，1）作直线l与（1）中的曲线E交于M，N两点，若P恰为弦MN的中点，求直线l的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）根据三角形的周长，结合椭圆的定义可知A点的轨迹是一个椭圆，进而可得椭圆方程，应注意A不在直线BC上；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），利用点差法，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），利用点差法，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．
解答：
解：（1）由已知|AB|+|AC|+|BC|=8，|BC|=2，得|AB|+|AC|=6＞2=|BC|，
由定义可知A点的轨迹是一个椭圆，且2c=2，2a=6，
即c=1，a=3，
∴b2=a2-c2=8，
当A在直线BC上，即x=0时，A，B，C三点不能构成三角形．
因此，A点的轨迹方程为
+
=1（x≠0）；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则
+
=1，
+
=1，
∵线段MN的中点恰为点P，
∴两式相减可得
+
=0，
∴k=
=
，
∴可得直线l的方程为y-1=
（x+2），即16x-9y+41=0．
由定义可知A点的轨迹是一个椭圆，且2c=2，2a=6，
即c=1，a=3，
∴b2=a2-c2=8，
当A在直线BC上，即x=0时，A，B，C三点不能构成三角形．
因此，A点的轨迹方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 8 |
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则
| x12 |
| 9 |
| y12 |
| 8 |
| x22 |
| 9 |
| y22 |
| 8 |
∵线段MN的中点恰为点P，
∴两式相减可得
| -4(x2-x1) |
| 9 |
| 2(y2-y1) |
| 8 |
∴k=
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| 16 |
| 9 |
∴可得直线l的方程为y-1=
| 16 |
| 9 |
点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的方程，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知集合A={x|y=
}，B={y|y=-x2}，则A∩B=（ ）
| x |
| A、（0，+∞） | B、（-∞，0） |
| C、{0} | D、∅ |
