Question

由坐标原点O向曲线y=x³-3ax²+bx（a≠0）引切线，切于O以外的点P₁（x₁，y₁），再由P₁引此曲线的切线，切于P₁以外的点P₂（x₂，y₂），如此进行下去，得到点列{P_n（x_n，y_n）}．求：
（Ⅰ）x_n与x_n-1（n≥2）的关系式；
（Ⅱ）数列{x_n}的通项公式；
（Ⅲ）当n→∞时，P_n的极限位置的坐标．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列的极限

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由f'（x）=3x²-6ax+b，得过点P_n（x_n，y_n）的切线为l_n：y-y_n=f'（x_n）（x-x_n），由此能求出x_n=-

1

2

xn-1+

3

2

a，n≥2，
（Ⅱ）由xn-a=-

1

2

(xn-1-a)，得数列{x_n-a}是首项为

a

2

，公比为-

1

2

的等比数列．由此能求出数列{x_n}的通项公式．
（Ⅲ）

lim

n→∞

x_n=

lim

n→∞

[1-(-

1

2

)n]a=a，

lim

n→∞

yn=f（a）=a³-3a³+ab=ab-2a³．由此能求出P_n的极限位置的坐标．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-6ax+b，
过点P₁（x₁，y₁）的切线为l₁：y-y₁=f'（x₁）（x-x₁）（x₁≠0），
∵l₁过原点，
∴-（x13-3ax12+bx₁）=（-x₁）（3x12-6ax₁+b），
解得x1=

2

3

a．
则过点P_n（x_n，y_n）的切线为l_n：y-y_n=f'（x_n）（x-x_n），
∵l_n过点P_n-1（x_n-1，y_n-1），
∴y_n-1-y_n=f'（x_n）（x_n-1-x_n），
整理得xn-12+xn-1xn-2xn2-3a(xn-1-xn)（x_n-1-x_n）=0．
∴(xn-1-xn)2(xn-1+2xn-3a)=0，
由x_n≠x_n-1，得x_n-1+2x_n-3a=0，
∴x_n=-

1

2

xn-1+

3

2

a，n≥2，
（Ⅱ）由（I）得，xn-a=-

1

2

(xn-1-a)，
∴数列{x_n-a}是首项为

a

2

，公比为-

1

2

的等比数列．
∴xn-a=

a

2

(-

1

2

)n-1，
∴xn=[1-(-

1

2

)n]a．
（Ⅲ）n→∞时，

lim

n→∞

x_n=

lim

n→∞

[1-(-

1

2

)n]a=a，

lim

n→∞

yn=f（a）=a³-3a³+ab=ab-2a³．
∴P_n的极限位置的坐标为（a，ab-2a³）．

点评：本题考查x_n与x_n-1（n≥2）的关系式的求法，考查数列{x_n}的通项公式的求法，考查当n→∞时，P_n的极限位置的坐标的求法，解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．