题目内容
设f（x）=（x2+ax+a）e-x，试确定实数a的值，使f（x）的极小值为0．
考点：函数在某点取得极值的条件
专题：导数的综合应用
分析：令f′①（x）=0可得x1=0，x2=2-a，分别讨论2-a 与0的大小，从而判断函数的单调性，进一步求出函数的极小值，从而求a的值
解答：
解：由于f（x）=（x2+ax+a）e-x，所以f'（x）=（2x+a）e-x-（x2+ax+a）e-x=-e-x[x2+（a-2）x]．
令f'（x）=0解得x=0或x=2-a，
当a=2时，f'（x）≤0恒成立，此时f（x）无极值．
所以2-a≠0．
①当2-a＞0，即a＜2时，f'（x）和f（x）2的变化情况如下表1：
此时应有f（0）=0，所以a=0＜2；
②当2-a＜0，即a＞2时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表2：
此时应有f（2-a）=0，即[（2-a）2+a（2-a）+a]ea-2=0，
而ea-2≠0，所以应有（2-a）2+a（2-a）+a=0⇒a=4＞2．
综上可知，当a=0或4时，f（x）的极小值为0．
令f'（x）=0解得x=0或x=2-a，
当a=2时，f'（x）≤0恒成立，此时f（x）无极值．
所以2-a≠0．
①当2-a＞0，即a＜2时，f'（x）和f（x）2的变化情况如下表1：
| x | （-∞，0） | 0 | （0，2-a） | 2-a | （2-a，+∞） |
| f'（x） | - | 0 | + | 0 | - |
| f（x） | ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
②当2-a＜0，即a＞2时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表2：
| x | （-∞，2-a） | 2-a | （2-a，0） | 0 | （0，+∞） |
| f'（x） | - | 0 | + | 0 | - |
| f（x） | ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
而ea-2≠0，所以应有（2-a）2+a（2-a）+a=0⇒a=4＞2．
综上可知，当a=0或4时，f（x）的极小值为0．
点评：本题的考点是利用导数研究函数的极值，考查用导数的方法研究函数的单调性、极值．解题中渗透了分类讨论、数形结合、方程与函数的思想及转化的思想．
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