Question

已知函数f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+m．
（1）求函数f（x）的最小正周期、单调递增区间、单调递减区间、对称轴、对称中心；
（2）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，函数f（x）的最小值为2，求此时函数f（x）的最大值，并指出x取何值时函数f（x）取到最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,二倍角的正弦

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）将函数f（x）进行化简，然后根据三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的最小正周期、单调递增区间、单调递减区间、对称轴、对称中心；
（2）根据，函数f（x）的最小值为2，求出m，即可求出函数的最大值．

解答： 解：（1）∵f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+m=

3

2

sin?2x+

1+cos?2x

2

+m=

3

2

sin?2x+

1

2

cos?2x+

1

2

+m=sin?(2x+

π

6

)+

1

2

+m，
∴函数f（x）的最小正周期T=-

2π

2

=π，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，即函数的增区间为（-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ），
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，即函数的减区间为（

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ），
由2x+

π

6

=kπ+

π

2

，得x=

π

6

+

kπ

2

，即对称轴为x=

π

6

+

kπ

2

，
由2x+

π

6

=kπ，得x=-

π

12

+

kπ

2

，即对称中心为（-

π

12

+

kπ

2

，0），k∈Z．
（2）若x∈[-

π

6

，

π

3

]时，则-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，则当2x+

π

6

=-

π

6

时，函数f（x）取得最小值为sin（-

π

6

）+

1

2

+m=2，
即-

1

2

+

1

2

+m=2，解得m=2，
此时当2x+

π

6

=

π

2

时，即x=

π

6

时，函数f（x）取得最大值为sin

π

2

+

1

2

+m=1+

1

2

+2=

7

2

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角化简公式将函数化简是解决本题 的关键．