Question

某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1，2，3三个问题，每位参赛者按问题1，2，3的顺序作答，竞赛规则如下：
①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1，2，3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分；
②每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局．
已知甲同学回答1，2，3三个问题正确的概率依次为

3

4

，

1

2

，

1

3

，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）求甲同学能进入下一轮的概率；
（2）用X表示甲同学本轮答题结束时累计分数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：计算题,概率与统计

分析：（1）利用甲同学回答1，2，3三个问题正确的概率依次为

3

4

，

1

2

，

1

3

，根据独立事件的概率公式，可求甲同学能进入下一轮的概率；
（2）确定甲同学本轮答题结束时累计分数的取值，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）设事件A：“甲同学回答1正确”；B：“甲同学回答2正确”；C：“甲同学回答3正确”，则P（A）=

3

4

，P（B）=

1

2

，P（C）=

1

3

．
记“甲同学能进入下一轮”为事件D，则P（D）=

3

4

•

1

2

•

1

3

+

3

4

•

1

2

+

1

4

•

1

2

•

1

3

=

13

24

；
（2）X可能的取值是6，7，8，12，13．则
P（X=6）=P(

.

A

.

B

)=

1

4

×

1

2

=

1

8

；P（X=7）=P(A

.

B

.

C

)=

3

4

×

1

2

×

2

3

=

1

4

；P（X=8）=P（

.

A

B

.

C

）=

1

4

×

1

2

×

2

3

=

1

12

；P（X=12）=P(A

.

B

C)=

3

4

×

1

2

×

1

3

=

1

8

；
P（X=13）=P(AB+

.

A

BC)=

3

4

×

1

2

+

1

4

×

1

2

×

1

3

=

5

12

．
∴X的分布列为

X	6	7	8	12	13
P	1 8	1 4	1 12	1 8	5 12

数学期望EX=6×

1

8

+7×

1

4

+8×

1

12

+12×

1

8

+13×

5

12

=

121

12

．

点评：本题考查概率的计算，考查随机变量的分布列和数学期望，考查学生的计算能力，正确理解变量取值的含义是关键．