Question

单调递增数列{a_n}满足a₁+a₂+a₃+…+a_n=

1

2

（a_n²+n）．
（1）求a₁，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=

an+1，n为奇数 an-1×2an-1+1，n为偶数

，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题设条件，由n=1能求出a₁；再由n≥2列出前n-1项和，二者作差后通过化简整理能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）构造一个新数列Sn=1×21+3×23+…(2n-1)×22n-1，并进行裂项求和，从而对题设条件进行化敏为简，由此入手能够求出数列{c_n}的前2n项和T_2n．

解答： 解：（1）∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=

1

2

（a_n²+n），①
∴当n=1时，a1=

1

2

(

a

2 1

+1)，解得a₁=1，
当n≥2时，a1+a2+a3+…+an-1=

1

2

(

a

2 n-1

+n-1)，②
①-②并整理，得an=

1

2

(

a

2 n

-

a

2 n-1

+1)，
∴(an-1)2-

a

2 n-1

=0，
解得a_n-a_n-1=1或a_n+a_n-1=1（n≥2）
又∵{a_n}单调递增数列，故a_n-a_n-1=1
∴{a_n}是首项是1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n…（6分）
（2）∵c_n=

an+1，n为奇数 an-1×2an-1+1，n为偶数

，
∴T2n=(2+4+…+2n)+[1×21+3×23+…(2n-1)×22n-1]+n
=n（n+1）+[1×2¹+3×2³+…（2n-1）×2^2n-1]+n
记Sn=1×21+3×23+…(2n-1)×22n-1③
4Sn=1×23+3×25+…(2n-1)×22n+1④
由③-④得-3Sn=2+24+26+…+22n-(2n-1)22n+1，
∴-3Sn=22+24+26+…+22n-(2n-1)22n+1-2，
-3Sn=

4(1-4n)

1-4

-(2n-1)22n+1-2，
∴Sn=

4(1-4n)

9

+

(2n-1)22n+1

3

+

2

3

，
Sn=

(6n-5)22n+1

9

+

10

9

，
∴T2n=

(6n-5)22n+1

9

+n2+2n+

10

9

．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和裂项求和法的合理运用．