Question

如图，已知椭圆C：

x2

4

+

y2

2

=1，Q是椭圆的右准线l上一动点，直线OQ交椭圆C于A、B两点，圆O：x²+y²=4，QM、QN是圆O的两条切线，M、N为切点．
（1）求证：直线MN恒过椭圆C的右焦点F；
（2）若点P是椭圆上任意一点，且直线AP、BP的斜率都存在，分别记为k₁，k₂，探究k₁•k₂是否为定值？说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得l：x=2

2

，设Q(2

2

，t)，得到MN：2

2

x+ty-4=0，由此能证明MN经过右焦点F．
（2）设P（x₁，y₁），A（x₂，y₂），得B（-x₂，-y₂），由此能推导出k₁•k₂为定值-1．

解答： （1）证明：∵椭圆C：

x2

4

+

y2

2

=1右准线是l，l：x=2

2

，
∵Q是椭圆的右准线l上一动点，∴设Q(2

2

，t)，
∵直线OQ交椭圆C于A、B两点，圆O：x²+y²=4，QM、QN是圆O的两条切线，M、N为切点．
∴MN：2

2

x+ty-4=0，
令y=0，x=

2

，
∴MN经过右焦点F(

2

，0)…（8分）
（2）解：设P（x₁，y₁），A（x₂，y₂），
∵A、B关于原点对称，
∴B（-x₂，-y₂），
∴k1k2=

y2-y1

x2-x1

•

y1+y2

x2+x1

=

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

=-

1

2

．…（16分）

点评：本题考查直线MN恒过椭圆C的右焦点F的证明，考查k₁•k₂是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．