Question

函数f（x）对于任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成立．
（1）求f（0）的值，并证明函数f（x）为奇函数；
（2）求证f（x）在R上为减函数；
（3）若f（1）=-2且关于x的不等式f（x²-x+k）＜4恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法求出f（0）的值，然后结合奇函数的定义证明该函数的奇偶性；
（2）结合单调性的定义证明；
（3）结合（2）的结果构造出x的不等式，然后利用不等式恒成立的证明思路，将问题转化为函数的最值问题来解．

解答： 解：（1）令x=y=0得f（0）=0．
令y=-x代入原式得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
所以f（-x）=-f（x），故该函数是奇函数．
（2）由已知得f（x+y）-f（x）=f（y）=f[（x+y）-x]．
所以任取x₂＞x₁，则
f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），
因为x₂-x₁＞0且当x＞0时f（x）＜0，
所以f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，所以f（x₂）＜f（x₁），
故该函数在R上是减函数．
（3）因为f（1）=-2，所以f（-1）=-f（1）=2，所以f（-2）=2f（-1）=4．
所以原不等式可化为：f（x²-x+k）＜f（-2）．
结合（2）知，函数f（x）在R上是增函数．
所以x²-x+k＞-2恒成立．
即k＞-x²+x-2=-（x-

1

2

）²+

9

4

恒成立．
所以只需k＞

9

4

即可．

点评：本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性的判断方法以及不等式恒成立问题的解题思路．属于能力题，需仔细体会与总结．