题目内容
双曲线 C：
-
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直，F1，F2为C的焦点A为双曲线上一
点，若|F1A|=2|F2A|，则 cos∠AF2F1=（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
点，若|F1A|=2|F2A|，则 cos∠AF2F1=（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
考点：双曲线的简单性质,两直线的夹角与到角问题
专题：计算题,解三角形,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由两直线垂直的条件可得渐近线的斜率为2，即有b=2a，再求c=
a，运用双曲线的定义和条件，解得三角形
AF2F1的三边，再由余弦定理，即可得到所求值．
| 5 |
AF2F1的三边，再由余弦定理，即可得到所求值．
解答：
解：由于双曲线的一条渐近线y=
x与直线x+2y+1=0垂直，
则一条渐近线的斜率为2，
即有b=2a，c=
=
a，
|F1A|=2|F2A|，且由双曲线的定义，可得|F1A|-|F2A|=2a，
解得，|F1A|=4a，|F2A|=2a，
又|F1F2|=2c，由余弦定理，可得
cos∠AF2F1=
=
=
．
故选C．
| b |
| a |
则一条渐近线的斜率为2，
即有b=2a，c=
| a2+b2 |
| 5 |
|F1A|=2|F2A|，且由双曲线的定义，可得|F1A|-|F2A|=2a，
解得，|F1A|=4a，|F2A|=2a，
又|F1F2|=2c，由余弦定理，可得
cos∠AF2F1=
| |AF2|2+|F1F2|2-|AF1|2 |
| 2|AF2|•|F1F2| |
| 4a2+4×5a2-16a2 | ||
2×2a×2
|
=
| ||
| 5 |
故选C．
点评：本题考查双曲线的定义和性质，考查两直线的垂直的条件及余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| A、12π | ||
B、4
| ||
| C、6π | ||
| D、4π |
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