Question

在1，2，…，7这7个自然数中，任取3个不同的数．
（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；
（2）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是满足条件的事件是至少有一个是偶数，C₇³-

C

3 4

种结果，得到概率．
（2）有可能相邻的：123，124，125，126，127，224，235，236，237，345，346，347，456，457，567．共15个，不包含相邻的数的有35-15=20，根据概率公式求解得当变量为0时表示不包含相邻的数P（ξ=0）=

20

35

=

4

7

，
当变量为1时表示包含1组相邻的数P（ξ=1）=

10

35

=

2

7

，当变量为2时表示包含2组相邻的数P（ξ=2）=

5

35

=

1

7

列出分布列，求解出数学期望即可．

解答： 解：：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
∵试验发生包含的事件是从7个数字中任取3个，共有C₇

3

=35种结果，
满足条件的事件是至少有一个是偶数，C₇³-

C

3 4

种结果，
记“这3个数至少有一个是偶数”为事件A，
∴P（A）=1-

C 3 4

C 3 7

=1-

4

35

=

31

35

，
即3个数中至少有1个是偶数的概率是

31

35

．
（2））随机变量ξ为这三个数中两数相邻的组数，
从7个数字中任取3个，共有C₇³种结果，
有可能相邻的：123，124，125，126，127，234，235，236，237，345，346，347，456，457，567．共15个
不包含相邻的数的有35-15=20
∵则ξ的取值为0，1，2，
当变量为0时表示不包含相邻的数P（ξ=0）=

20

35

=

4

7

，
当变量为1时表示包含1组相邻的数P（ξ=1）=

10

35

=

2

7

，
当变量为2时表示包含2组相邻的数P（ξ=2）=

5

35

=

1

7

随机变量ξ的分布列：

ξ	0	1	2
P	4 7	2 7	1 7

其数学期望Eξ=0×

4

7

+1×

2

7

+2×

1

7

=

4

7

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．