Question

已知函数f（x）=ax²-bx+1．
（Ⅰ）若a＞0，不等式f（x）≥0的解集为A，1∉A，2∈A，求a+b的取值范围；
（Ⅱ）若a为整数，b=a+2，且函数f（x）在（-2，-1）上恰有一个零点，求a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数g（x）=lnx+x+2+f′（x）对任意的x∈（1，+∞），有（x+1）g（x）+
x²-2x+k＞0恒成立，求实数k的最小值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的零点

专题：计算题,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由题意可得不等式组

a＞0 a-b+1＜0 4a-2b+1≥0

，利用线性规划求解；
（Ⅱ）注意讨论a是否是0，进而讨论函数的单调性，从而得到（4a+2a+4+1）（a+a+2+1）＜0，从而求a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数g（x）=lnx+x+2+f′（x）=lnx-x+1，从而化（x+1）g（x）+x²-2x+k＞0为k＞-[（x+1）g（x）+x²-2x]，令F（x）=-[（x+1）g（x）+x²-2x]=2x-xlnx-lnx-1，从而求函数的最值，进而求实数k的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，

a＞0 a-b+1＜0 4a-2b+1≥0

，
作出其平面区域如下，

由

b=a+1 b=2a+ 1 2

解得，a=

1

2

，b=

3

2

，
故a+b＞

1

2

+

3

2

=2，
（Ⅱ）若a=0，则f（x）=ax²-bx+1=-2x+1=0，
解得x=

1

2

，不成立；
若a≠0，则

a+2

2a

=

1

2

+

1

a

，则又∵a为整数，
∴

1

2

+

1

a

∈[-

1

2

，

1

2

）或

1

2

+

1

a

∈（

1

2

，

3

2

]，
则函数f（x）在（-2，-1）上单调，
故若使函数f（x）在（-2，-1）上恰有一个零点，
则f（-2）•f（-1）＜0，
即（4a+2a+4+1）（a+a+2+1）＜0，
解得-

3

2

＜a＜-

5

6

，
故a=-1．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，f′（x）=-2x-1，
则g（x）=lnx+x+2+f′（x）=lnx-x+1，
（x+1）g（x）+x²-2x+k＞0可化为
k＞-[（x+1）g（x）+x²-2x]，
令F（x）=-[（x+1）g（x）+x²-2x]
=2x-xlnx-lnx-1，
则F′（x）=2-x•

1

x

-lnx-

1

x

=1-lnx-

1

x

，且F′（1）=0，
F″（x）=-

1

x

+

1

x2

=

1-x

x2

＜0，
故F′（x）=2-x•

1

x

-lnx-

1

x

在[1，+∞）上单调递减，
故F′（x）＜F′（1）=0，
故F（x）在在[1，+∞）上单调递减，
故当x∈（1，+∞），F（x）＜F（1）=1，
故k≥1，则实数k的最小值为1．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题及线性规划问题，属于难题．