Question

在平面直角坐标系xoy中，P（x₀，y₀）是椭圆C：

x2

6

+

y2

2

=1上任意一点，F是椭圆C的左焦点，直线l的方程为x₀x+3y₀y-6=0．
（1）求证：直线l与椭圆C有唯一公共点；
（2）设点Q与点F关于直线l对称，当点P在椭圆上运动时，判断直线PQ是否过定点，若直线PQ过定点，求出此定点的坐标；若直线PQ不过定点，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）联立方程组，证明原方程组有只有一组解，即可得出结论；
（2）求出过点F且与直线l垂直的直线方程与直线l的方程联立，求出Q的坐标，分类讨论，求出直线PQ的方程，即可得出结论．

解答： （1）证明：联立方程组

x2 6 + y2 2 =1 x0x+3y0y-6=0

，消去y得：(x02+3y02)x2-12x0x+36-18y02=0，
又

x02

6

+

y02

2

=1得3y02=6-x02，代入得：x2-2x0x+x02=0，
因为：△=4x02-4x02=0，所以原方程组有只有一组解，
所以直线l与椭圆C有唯一公共点；
（2）解：点F的坐标为（-2，0），过点F且与直线l垂直的直线方程为3y₀x-x₀y+6y₀=0，
解方程组

x0x+3y0-6=0 3y0x-x0y+6y0=0

得

x= 6x0-18y02 x02+9y02 = 3x0-6 3-x0 y= 18y0+6x0y0 x02+9y02 = 3y0 3-x0

，
所以点Q的坐标是(

4x0-6

3-x0

，

6y0

3-x0

)，
当x₀≠2时，kPQ=

y0

x0-2

，所以直线PQ的方程为y-y0=

y0

x0-2

(x-x0)，
即（x-2）y₀-yx₀+2y=0，过定点M（2，0）．
当x₀=2时，y0=±

6

3

，此时点Q的坐标为(2，±2

6

)，直线PQ过定点M（2，0），
综上：直线PQ过定点M（2，0）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题转化为原方程组有只有一组解，考查直线过定点问题，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．