Question

已知函数f（x）=

ax+b

x2+1

为R上的奇函数，且f（1）=

1

2

．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）在[m，n]上递增，求n-m的最大值．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的奇偶性和f（1）=

1

2

，建立方程即可求出a，b的值．
（2）利用导数求出函数的单调递增区间，根据[m，n]与递增区间的关系，即可求出n-m的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

ax+b

x2+1

为R上的奇函数，
∴f（0）=0，即f（0）=

b

0+1

=0，即b=0，
此时f（x）=

ax

x2+1

，
∵f（1）=

1

2

，
∴f（1）=

a

2

=

1

2

，解得a=1．
（2）∵f（x）=

ax+b

x2+1

=

x

x2+1

，
∴f′(x)=

1-x2

(x2+1)2

，由f′（x）≥0
解得x²≤1，
即-1≤x≤1，即函数在[-1，1]上单调递增，
若f（x）在[m，n]上递增，
∴[m，n]⊆[-1，1]，
即当m=-1，n=1时，n-m取得最大值，为1-（-1）=1+1=2．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的应用，利用导数是解决函数单调性的基本方法．