Question

设F₁、F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点．
（1）设椭圆C上点（

3

，

3

2

）到两点F₁、F₂距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF₁的中点B的轨迹方程；
（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k_PM，k_PN，试探究k_PM•K_PN的值是否与点P及直线L有关，不必证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆C上点（

3

，

3

2

）到两点F₁、F₂距离和等于4，建立方程，求出a，b，即可写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）确定KF₁的中点B（x，y），与点K坐标之间的关系，把K的坐标代入椭圆方程，即可求线段KF₁的中点B的轨迹方程；
（3）设出M，N，P的坐标，代入方程，由两点式写出PM与PN所在直线的斜率，作积后把点的纵坐标用横坐标表示，整理后可得要证明的结论．

解答： 解：（1）∵椭圆C上点（

3

，

3

2

）到两点F₁、F₂距离和等于4，
∴

( 3 )2

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1；2a=4，（2分）
∴a=2，b=

3

，
∴c=

a2-b2

=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；焦点坐标分别为（-1，0），（1，0）（4分）
（2）设KF₁的中点为B（x，y），则点K（2x+1，2y）（5分）
把K的坐标代入椭圆

x2

4

+

y2

3

=1中得(2x+1)24+

(2y)2

3

=1；（7分）
线段KF₁的中点B的轨迹方程为(x+

1

2

)2+

y2

3 4

=1；（8分）
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，设M（x₀，y₀）N（-x₀，-y₀），P（x，y），
M，N，P在椭圆上，应满足椭圆方程，得

x02

a2

+

y02

b2

=1，

x2

a2

+

y2

b2

=1；（10分）
∴K_PM•K_PN=

y-y0

x-x0

•

y+y0

x+x0

=

y2-y02

x2-x02

=-

b2

a2

（13分）
故：k_PM•K_PN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关，（14分）

点评：本题考查了椭圆的标准方程及简单几何性质，考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了代入法，考查了学生的计算能力，是压轴题．