Question

如图所示，空间中有一直角三角形POA，∠O为直角，OA=4，PO=3，现以其中一直角边PO为轴，按逆时针方向旋转60°后，将A点所在的位置记为B，再按逆时针方向继续旋转120°后，A点所在的位置记为C．
（Ⅰ）连结BC，取BC的中点为D，求证：面PDO⊥面PBC；
（Ⅱ）求PA与平面PBC所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由题意知△POB与△POC全等，从而得到PD⊥BC，OD⊥BC，由此能够证明面PDO⊥面PBC．
（Ⅱ）由题意知O为AC的中点，取PC的中点为M，连结OM，过O作PD的垂线，垂足为N，联结MN，由已知条件推导出∠OMN为OM与平面PBC所成的角，由此能求出PA与平面PBC所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：由题意可知：△POB与△POC全等，
OB=OC，PB=PC，D为BC的中点，
∴PD⊥BC，OD⊥BC，
又∵PD∩OD=D，
∴BC⊥面PODBC?面PBC，
∴面PDO⊥面PBC．…（6分）
（Ⅱ）解：由题意知：O为AC的中点，取PC的中点为M，连结OM，
过O作PD的垂线，垂足为N，连结MN，
由（Ⅰ）知面PDO⊥面PBC，∴ON⊥面PBC，
∵MN是OM在平面PBC上的射影，
∴∠OMN为OM与平面PBC所成的角，
∴OD=

1

2

AB=

1

2

OA=2，PD=

OD2+PO2

=

13

，
ON=

2×3

13

=

6 13

13

，OM=

1

2

PA=

5

2

，
sin∠OMN=

ON

OM

=

12 13

65

，
∵OM∥PA，∴PA与平面PBC所成的角和OM与平面PBC所成的角相等，
∴PA与平面PBC所成的角的正弦值为

12 13

65

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．