Question

已知a，b，c，d均为实数，函数f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2+cx+d（a＜0）有两个极值点x₁，x₂且x₁＜x₂，满足f（x₂）=x₁，则方程af²（x）+bf（x）+c=0的实根的个数是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,数形结合,导数的综合应用

分析：求导数f′（x），由题意知x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两根，从而关于f（x）的方程a（f（x））²+bf（x）+c=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．

解答： 解：∵f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2+cx+d（a＜0）
∴f′（x）=ax²+bx+c，
由题意知x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两根，即x₁，x₂是函数的两个极值点，
不妨设x₂＞x₁，从而关于f（x）的方程a[f（x）]²+b[f（x）]+c=0有两个根，
所以f（x）=x₁，或f（x）=x₂根据题意画图，
所以f（x）=x₁有两个不等实根，f（x）=x₂只有一个不等实根，
综上方程a[f（x）]²+bf（x）+c=0的不同实根个数为3个．
故答案为：3．

点评：考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．