Question

已知过点F₁（-1，0）且斜率为1的直线l₁与直线l₂：3x+3y+5=0交于点P．
（Ⅰ）求以F₁、F₂（1，0）为焦点且过点P的椭圆C的方程．
（Ⅱ）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）由题意得直线l₁的方程为y=x+1，与直线l₂：3x+3y+5=0联立可解出点P的坐标，从而求椭圆的方程；
（II）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有k_Qt•k_Qs=k（k为定值），则可得 

y

x-s

•

y

x-t

=k，化简可得（k+

1

2

）x2-k（s+t）x+kst-1=0对任意x∈（-

2

，

2

）恒成立，从而解出k，s，t．

解答： 解：（I）直线l₁的方程为y=x+1，与直线l₂：3x+3y+5=0联立可解得，
x=-

4

3

，y=-

1

3

，
则P（-

4

3

，-

1

3

），
则|PF₁|+|PF₂|=

(- 4 3 +1)2+(- 1 3 )2

+

(- 4 3 -1)2+(- 1 3 )2

=2

2

，
则a=

2

，c=1，b=1；
则椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（II）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），
使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有k_Qt•k_Qs=k（k为定值），
即 

y

x-s

•

y

x-t

=k，将y²=1-

x2

2

代入并整理得
（k+

1

2

）x2-k（s+t）x+kst-1=0（*）
由题意，（*）式对任意x∈（-

2

，

2

）恒成立，
所以k+

1

2

=0，k（s+t）=0，kst-1=0；
解得k=-

1

2

，s=

2

，t=-

2

；或k=-

1

2

，s=-

2

，t=

2

；．
所以有且只有两定点（

2

，0），（-

2

，0），
使得k_Qt•k_Qs为定值-

1

2

．

点评：本题考查了椭圆的定义及基本性质，同时考查了化简与运算的能力，同时考查了恒成立问题，注意要细心，属于难题．