Question

有以下几种叙述：
①函数f（x）=|x+a|-|x-a|（a∈R）为奇函数；
②若函数y=f（x-1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=-1对称；
③设（a，b），（c，d）都是函数f（x）的单调增区间（b＜c），且x₁∈（a，b），x₂∈（c，d），x₁＜x₂，则f（x₁）＜f（x₂）；
④已知函数f（x）=

-x2+2ax，  (x≤1) ax+1，(x＞1)

，若存在x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）则实数a的取值范围是（-∞，1）∪（2，+∞）；
以上说法正确的是

 

．（写出你认为正确的所有命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①函数定义域为R，且f（-x）=-f（x），为奇函数，②函数y=f（x-1）是偶函数，则其图象关于x=0对称，平移可得，③举反例y=-

1

x

，否定即可，④先要理解其性质为函数在R上不单调，x≤1时为二次函数，可能单调递增，也可能不单调，x＞1，是为一次函数，要么增要么减，结合讨论，先讨论二次函数，在讨论一次函数．

解答： 解：①函数定义域为R，且f（-x）=|-x+a|-|-x-a|=f（-x）=丨-（x-a）丨-丨-（x+a）丨=丨x-a丨-丨x+a丨=-f（x），为奇函数，①正确；
②若函数y=f（x-1）是偶函数，则其图象关于x=0对称，向左平移一个单位得到函数y=f（x）的图象，函数y=f（x）的图象关于直线x=-1对称，②正确；
③不妨令f（x）=-

1

x

，在（-3，0），（0，3）都是函数f（x）的单调增区间，符合题目条件，但不成立，③错误；
④依题意，即在定义域R内，f（x）不是单调的，
当x≤1时，f（x）=-x²+2ax，图象对称轴为x=a，函数不单调的则a＜1即可，
反之，a≥1时，f（x）=-x²+2ax（x≤1）单调递增，最大值为f（1）=2a-1，此时，f（x）=ax-1（x＞1）单调递增，且f（x）＞f（1）=a+1，函数在R上不单调，则2a-1＞a+1即a＞2，
综上，实数a的取值范围是（-∞，1）∪（2，+∞），④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题难点有二，一是理解“若存在x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）”为函数在R上不单调，二是讨论函数何时单调，何时不单调，要结合二次函数和一次函数的性质讨论．