题目内容
已知f（x）=ax2+bx+c，（0＜2a＜b），?x∈R，f（x）≥0恒成立，则
的最小值为 ．
| f(1) |
| f(0)-f(-1) |
考点：二次函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：由二次函数的性质得c≥
，代入化简
得：
≥
，设t=
，由0＜2a＜b得t＞2，利用基本不等式的性质就能求得最小值．
| b2 |
| 4a |
| f(1) |
| f(0)-f(-1) |
| f(1) |
| f(0)-f(-1) |
4+4•
| ||||
4•
|
| b |
| a |
解答：
解：因为?x∈R，f（x）=ax2+bx+c≥0恒成立，0＜2a＜b，
所以
，得b2≤4ac，
又0＜2a＜b，所以c≥
，
所以
=
=
≥
=
=
=
，
设t=
，由0＜2a＜b得，t＞2，
则
≥
=
=
[（t-1）+
+6]≥
×(6+6)=3，
当且仅当t-1=
时取等号，此时t=4，
取最小值是3，
故答案为：3．
所以
|
又0＜2a＜b，所以c≥
| b2 |
| 4a |
所以
| f(1) |
| f(0)-f(-1) |
| a+b+c |
| c-(a-b+c) |
=
| a+b+c |
| b-a |
a+b+
| ||
| b-a |
| 4a2+4ab+b2 |
| 4a(b-a) |
| 4a2+4ab+b2 |
| 4ab-4a2 |
4+4•
| ||||
4•
|
设t=
| b |
| a |
则
| f(1) |
| f(0)-f(-1) |
| 4+4t+t2 |
| 4(t-1) |
| (t-1)2+6(t-1)+9 |
| 4(t-1) |
| 1 |
| 4 |
| 9 |
| t-1 |
| 1 |
| 4 |
当且仅当t-1=
| 9 |
| t-1 |
| f(1) |
| f(0)-f(-1) |
故答案为：3．
点评：本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，以及换元法，式子的变形是解题的关键和难点，属于难题．
练习册系列答案
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