Question

3．在非直角△ABC中，D为BC上的中点，且$\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}}{{S}_{△CAB}}$=4$\frac{{S}_{△ABD}}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}$，E为边AC上一点，2$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，BE=2，则△ABC的面积的最大值为$\frac{8}{3}$．（其中S_△ABC表示△ABC的面积）

Answer 1

分析 由已知⇒cotC=tan∠BAD⇒C+∠BAD=$\frac{π}{2}$⇒sin∠BAD=cosC，又因为∠BAD+C+∠CAD+B=π，故$∠CAD+B=\frac{π}{2}$⇒sin∠CAD=cosB，又$\frac{DB}{sin∠BAD}=\frac{AD}{sinB}$，$\frac{DC}{sin∠CAD}=\frac{AD}{sinC}$，得sinC•sin∠BAD=sinB•sin∠CAD⇒2B=2CB=C，即AB=AC．先在△ABE中利用余弦定理表示出cos∠BAC，进而求得sin∠BAC的表达式，进而代入三角形面积公式利用转化为二次函数来解决．

解答 解：∵$\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}}{{S}_{△CAB}}$=4$\frac{{S}_{△ABD}}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}$，∴$\frac{CA•CBcosC}{\frac{1}{2}CA•CBsinC}=4×\frac{\frac{1}{2}AB•ADsin∠BAD}{AB•ADcos∠BAD}$．
⇒cotC=tan∠BAD⇒C+∠BAD=$\frac{π}{2}$⇒sin∠BAD=cosC
又因为∠BAD+C+∠CAD+B=π，∴$∠CAD+B=\frac{π}{2}$⇒sin∠CAD=cosB
在△ABD中，$\frac{DB}{sin∠BAD}=\frac{AD}{sinB}$，…①
在△ADC中，$\frac{DC}{sin∠CAD}=\frac{AD}{sinC}$，…②
∵DB=DC，结合①②得sinC•sin∠BAD=sinB•sin∠CAD
∴sinB•cosB=sinC•cosC⇒sin2B=sin2C⇒2B=2C或2B+2C=π．
∵△ABC是非直角△，∴B=C，即AB=AC．
∵2$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，BE=2，则E为AC中点．
设AB=2x，则AE=x，在△ABE中，cos∠BAC=$\frac{{4x}^{2}+{x}^{2}-4}{2•2x•x}=\frac{5}{4}-\frac{1}{{x}^{2}}$
sin∠BAC=$\sqrt{1-（\frac{5}{4}-\frac{1}{{x}^{2}}）^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{16}-\frac{1}{{x}^{4}}+\frac{5}{2{x}^{2}}}$
$\frac{1}{2}×（2x）^{2}×\sqrt{-\frac{9}{16}-\frac{1}{{x}^{4}}+\frac{5}{2{x}^{2}}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{-9（{x}^{2}-\frac{20}{9}）^{2}+\frac{256}{9}}$$≤\frac{8}{3}$
故当x=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$时，△ABC的面积的最大值为$\frac{8}{3}$．
故答案为：$\frac{8}{3}$．

点评 本题主要考查了向量数量积的运算、余弦定理和正弦定理的运用．解题过程中充分利用好等腰三角形这个条件，把表达式的未知量减到最少．属于难题．