Question

6．已知数列{a_n}满足${a_1}=-\frac{1}{2}$，a_n+1b_n=b_n+1a_n+b_n，且${b_n}=\frac{{1+{{（-1）}^n}5}}{2}$（n∈N^*），则数列{a_n}的前2n项和S_2n取最大值时，n=8．

Answer 1

分析 由${b_n}=\frac{{1+{{（-1）}^n}5}}{2}$（n∈N^*），则b_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2，n为奇数}\\{3，n为偶数}\end{array}\right.$，由a_n+1b_n=b_n+1a_n+b_n，当n=2k-1（k∈N^*）为奇数时，-2a_2k=3a_2k-1-2，当n=2k（k∈N^*）为偶数时，3a_2k+1=-2a_2k+3，可得a_2k+1-a_2k-1=$\frac{1}{3}$．因此数列{a_2k-1}成等差数列，公差为$\frac{1}{3}$，首项为-$\frac{1}{2}$．同理可得：a_2k+2-a_2k=-$\frac{1}{2}$．因此数列{a_2k}成等差数列，公差为-$\frac{1}{2}$，首项为$\frac{7}{4}$．利用等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：由${b_n}=\frac{{1+{{（-1）}^n}5}}{2}$（n∈N^*），则b_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2，n为奇数}\\{3，n为偶数}\end{array}\right.$，
由a_n+1b_n=b_n+1a_n+b_n，当n=2k-1（k∈N^*）为奇数时，-2a_2k=3a_2k-1-2，
当n=2k（k∈N^*）为偶数时，3a_2k+1=-2a_2k+3，
∴3a_2k+1=3a_2k-1+1，
∴a_2k+1-a_2k-1=$\frac{1}{3}$．因此数列{a_2k-1}成等差数列，公差为$\frac{1}{3}$，首项为-$\frac{1}{2}$．
∴$\sum_{k=1}^{n}$a_2k-1=$-\frac{1}{2}×n$+$\frac{n（n-1）}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{{n}^{2}}{6}$-$\frac{2n}{3}$．
同理可得：a_2k+2-a_2k=-$\frac{1}{2}$．因此数列{a_2k}成等差数列，公差为-$\frac{1}{2}$，首项为$\frac{7}{4}$．
∴$\sum_{k=1}^{n}{a}_{2k}$=$\frac{7}{4}$×n-$\frac{1}{2}$×$\frac{n（n-1）}{2}$=$-\frac{{n}^{2}}{4}$+2n．
∴S_2n=$\frac{{n}^{2}}{6}$-$\frac{2n}{3}$$-\frac{{n}^{2}}{4}$+2n=-$\frac{{n}^{2}}{12}$+$\frac{4}{3}$n=-$\frac{1}{12}$（n-8）²+$\frac{16}{3}$．
∴当n=8时，数列{a_n}的前2n项和S_2n取最大值$\frac{16}{3}$时．
故答案为：8．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．