题目内容
2013年4月20日8点02分四川省雅安市芦山县（北纬30.3度，东经103.0度）发生7.0级地震，此次地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治．医疗队首先到达O点，设有四个乡镇，分别位于一个矩形ABCD的四个顶点A，B，C，D，为了救灾及灾后实际重建需要．需要修建三条小路OE、EF和OF，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，AB=50千米，BC=25
| 3 |
（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每千米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．
考点：函数模型的选择与应用,函数最值的应用
专题：应用题,函数的性质及应用
分析：（1）要将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，需把△OEF的三边分别用含有α的关系式来表示，而OE，OF，分别可以在Rt△OBE，Rt△OAF中求解，利用勾股定理可求EF，从而可求．
（2）要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．由（1）得，l=
，α∈[
，
]．利用换元，设sinα+cosα=t，则sinαcosα=
，从而转化为求函数在闭区间上的最小值．
（2）要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．由（1）得，l=
| 25(sinα+cosα+1) |
| cosαsinα |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| t2-1 |
| 2 |
解答：
解：（1）∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，
∴OE=
在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，
∴OF=
．
又∠EOF=90°，
∴EF=
=
，
∴l=OE+OF+EF=
+
+
=
．
当点F在点D时，这时角α最小，求得此时α=
；
当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=
．
故此函数的定义域为[
，
]．
（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．
由（1）得，l=
，α∈[
，
]．
设sinα+cosα=t，则sinαcosα=
，
∴l=
=
由t=sinα+cosα=
sin（α+
），
又
≤α+
≤
，得
≤t≤
，
∴
+1≤
≤
+1，
∴α=
，即BE=25时，lmin=50（
+1），
∴当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为20000（
+1）元．
∴OE=
| 25 |
| cosα |
在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，
∴OF=
| 25 |
| sinα |
又∠EOF=90°，
∴EF=
| OE2+OF2 |
| 25 |
| cosαsinα |
∴l=OE+OF+EF=
| 25 |
| cosα |
| 25 |
| sinα |
| 25 |
| cosαsinα |
| 25(sinα+cosα+1) |
| cosαsinα |
当点F在点D时，这时角α最小，求得此时α=
| π |
| 6 |
当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=
| π |
| 3 |
故此函数的定义域为[
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．
由（1）得，l=
| 25(sinα+cosα+1) |
| cosαsinα |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
设sinα+cosα=t，则sinαcosα=
| t2-1 |
| 2 |
∴l=
| 25(t+1) | ||
|
| 50 |
| t-1 |
由t=sinα+cosα=
| 2 |
| π |
| 4 |
又
| 5π |
| 12 |
| π |
| 4 |
| 7π |
| 12 |
| ||
| 2 |
| 2 |
∴
| 2 |
| 1 |
| t-1 |
| 3 |
∴α=
| π |
| 4 |
| 2 |
∴当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为20000（
| 2 |
点评：本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数学知识解决实际问题的能力，及推理运算的能力．
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| ||||
B、30sin（
| ||||
C、30sin（
| ||||
D、30sin（
|
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”是“cosA=
”的（ ）
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
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| C、充要条件 |
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| ||
B、
| ||
C、-
| ||
D、
|
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