Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，且∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=

6

，点P、M、N分别为BC₁、CC₁、AB₁的中点．
（1）求证：PN∥平面ABC；
（2）求证：A₁M⊥AB₁C₁；
（3）求点M到平面AA₁B₁的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明PN∥平面ABC，利用线面平行的判定，只需证明PN∥AC；
（2）证明A₁M⊥AB₁C₁，只需证明AC₁⊥A₁M，B₁C₁⊥A₁M；
（3）利用VM-AA1B1=VB1-MAA1，可求点M到平面AA₁B₁的距离，

解答： （1）证明：连结CB₁，
∵P是BC₁的中点，∴CB₁过点P，--（1分）
∵N为AB₁的中点，∴PN∥AC，---------------------------（2分）
∵AC?面ABC，PN?面ABC，
∴PN∥平面ABC．--------------------------------------（4分）
（2）证法一：连结AC₁，在直角△ABC中，
∵BC=1，∠BAC=30°，
∴AC=A₁C₁=

3

-----------------------------------（5分）
∵

CC1

A1C1

=

A1C1

MC1

=

2

，
∴Rt△A₁C₁M～Rt△C₁CA--------------------------------------------------------（7分）
∴∠A₁MC₁=∠CAC₁，∴∠AC₁C+∠CAC₁=∠AC₁C+∠A₁MC₁=90°
∴AC₁⊥A₁M．-------------------------------------------------------------------（8分）
∵B₁C₁⊥C₁A₁，CC₁⊥B₁C₁，且C₁A₁∩CC₁=C₁
∴B₁C₁⊥平面AA₁CC₁，-----------------------------------------------------------（9分）
∴B₁C₁⊥A₁M，又AC₁∩B₁C₁=C₁，故A₁M⊥平面A B₁C₁，-------------------------（11分）
证法二：连结AC₁，在直角△ABC中，∵BC=1，∠BAC=30°，
∴AC=A₁C₁=

3

-------------------------------------------------------------（5分）
设∠AC₁A₁=α，∠MA₁C₁=β
∵tanαtanβ=

AA1

A1C1

•

MC1

A1C1

=

6

3

•

2

2

=1，------------------------------------------（7分）
∴α+β=90°  即AC₁⊥A₁M．-------------------------------------------------------（8分）
∵B₁C₁⊥C₁A₁，CC₁⊥B₁C₁，且C₁A₁∩CC₁=C₁
∴B₁C₁⊥平面AA₁CC₁，-----------------------------------------------------------（9分）
∴B₁C₁⊥A₁M，又AC₁∩B₁C₁=C₁
故A₁M⊥面A B₁C₁，------------------------------------------------------------（11分）】
（3）设点M到平面AA₁B₁的距离为h，
由（2）知B₁C₁⊥平面AA₁CC₁
∵VM-AA1B1=VB1-MAA1------------------------------------------------------------（12分）
∴S△AA1B1•h=S△MAA1•B1C1
∴h=

S△MAA1•B1C1

S△AA1B1

=

1 2 × 3 × 6 ×1

1 2 ×2× 6

=

3

2

．
即点M到平面AA₁B₁的距离为

3

2

．----------------------------------------------（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查点M到平面AA₁B₁的距离，用好等体积是关键．