Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦距为2

5

，过M（1，1）斜率为

2

3

直线l交曲线C于A，B且M是线段AB的中点，则双曲线C的标准方程为（　　）

• A、

  x2

  3

  -

  y2

  2

  =1
• B、

  x2

  3

  -

  3y2

  2

  =1
• C、

  x2

  3

  -2y2=1
• D、

  x2

  3

  -y2=1

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用中点坐标公式与斜率计算公式可得

x1+x2

2

=1，

y1+y2

2

=1，

2

3

=

y1-y2

x1-x2

．
再利用“点差法”即可得出．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则

x1+x2

2

=1，

y1+y2

2

=1，

2

3

=

y1-y2

x1-x2

．
分别代入双曲线的方程可得：

x 2 1

a2

-

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

-

y 2 2

b2

=1，
相减可得：

(x1+x2)(x1-x2)

a2

-

(y1+y2)(y1-y2)

b2

=0，
∴

2

a2

-

2× 2 3

b2

=0，
化为2a²=3b²．
联立

2a2=3b2 c= 5 c2=a2+b2

，解得b²=2，a²=3．
∴双曲线C的标准方程为

x2

3

-

y2

2

=1．
故选：A．

点评：本题考查了中点坐标公式与斜率计算公式、“点差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．