Question

在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，设平面向量

m

=（a，2c），

n

=（sinA，

3

），若满足条件

m

∥

n

．
（1）确定角C的大小；
（2）若c=

7

，△ABC的面积S=

3

2

3

，求a²+b²的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由两向量的坐标，根据两向量平行，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简求出sinC的值，即可确定出C的度数；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinC的值代入求出ab的值，利用余弦定理列出关系式，把c，ab，cosC的值代入即可求出a²+b²的值．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（a，2c），

n

=（sinA，

3

），且

m

∥

n

，
∴

a

sinA

=

2c

3

，
∵由正弦定理得：

a

sinA

=

c

sinC

，
∴

2c

3

=

c

sinC

，即sinC=

3

2

，
∵C为锐角，
∴C=

π

3

；
（2）由三角形面积公式得：S=

1

2

absinC=

3 3

2

，即ab=6，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=a²+b²-6=7，
则a²+b²=13．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．