Question

在△ABC中，∠BAC=90°，以AB为一边向△ABC外作等边△ABD，若∠BCD=2∠ACD，

AD

=λ

AB

+μ

AC

，则λ+μ=

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,向量的线性运算性质及几何意义

专题：解三角形

分析：作点D关于AC的对称点为D′，且DD′交AC于点E，设∠DCA=θ，根据∠BCD=2∠ACD得∠BCD=2θ，∠CD′D=90°-θ，∠CBD=150°-3θ，在△DCD′，△BCD中利用正弦定理得sin（150°-3θ）=sin（90°-θ），解得θ=15°，所以AC=AB=m，从而得出λ=

DE

AB

=

1

2

，μ=-

AE

AC

=-

3

2

．

解答： 解：如图，设点D关于AC的对称点为D′，且DD′交AC于点E．
设∠DCA=θ，则∠BCD=2θ，∠CD′D=90°-θ，∠CBD=150°-3θ，
在△DCD′，△BCD中利用正弦定理得

CD

sin(150°-3θ)

=

BD

sin2θ

=

DD′

sin2θ

=

CD

sin(90°-θ)

即sin（150°-3θ）=sin（90°-θ），
∴150°-3θ=90°-θ或150°-3θ+90°-θ=180°
即θ=15°．
∴∠ACB=∠ABC=45°
∴AC=AB=m，
∴AE=

3

2

m，DE=

1

2

m，
∵

AD

=λ

AB

+μ

AC

=

AE

+

ED

，
显然λ=

DE

AB

=

1

2

，μ=-

AE

AC

=-

3

2

，
∴λ+μ=

1- 3

2

．
故答案为：

1

2

-

3

2

．

点评：本题考查正弦定理的灵活应用，以及向量加法和数乘运算，属于中档题．