Question

已知点P（1，m）在抛物线C：y²=2Px（P＞0）上，F为焦点，且|PF|=3．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点T（4，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点．
（ⅰ）求

OA

•

OB

的值；
（ⅱ）若以A为圆心，|AT|为半径的圆与y轴交于M，N两点，求△MNF的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由抛物线定义得：|PF|=1+

p

2

=3，由此能求出抛物线C的方程．
（II）（i）依题意设过点T（4，0）的直线l的方程为x=ty+4，由

y2=8x x=ty+4

，得y²-8ty-32=0，由此利用韦达定理能求出

OA

•

OB

=-16．
（ii）设A（x₁，y₁），M（0，y_M），N（0，y_N），则y12=8x1，以A为圆心，|AT|为半径的圆的方程为(x-x1)2+(y-y1)2=(4-x1)2+y12，由此能求出△MNF的面积．

解答： 满分（12分）．
解：（I）抛物线C：y²=2px（p＞0），
∴焦点F（

p

2

，0）．…（1分）
由抛物线定义得：|PF|=1+

p

2

=3，
解得p=4，
∴抛物线C的方程为y²=8x．…（3分）
（II）（i）依题意可设过点T（4，0）的直线l的方程为x=ty+4，…（4分）
由

y2=8x x=ty+4

，得y²-8ty-32=0，…（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=8t，y₁y₂=-32，…（6分）
∴x1•x2=

1

8

y12•

1

8

y22=16，…（7分）
∴

OA

•

OB

=x1 x2+y1 y2=16-32=-16．…（8分）
（ii）设A（x₁，y₁），M（0，y_M），N（0，y_N），则y12=8x1，①
以A为圆心，|AT|为半径的圆的方程为(x-x1)2+(y-y1)2=(4-x1)2+y12，…（9分）
令x=0，则x1 2+（y-y₁）²=（4-x₁）²+y12，②
把①代入②得（y-y₁）²=16，
∴y=y₁+4或y=y₁-4，
∴|MN|=|y_M-y_N|=8，…（11分）
∴S_△MNF=

1

2

•|MN|•|OF|=

1

2

•8•2=8．…（12分）

点评：本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识及直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查特殊与一般的思想、化归与转化思想．