Question

10．如图，四棱锥P-ABCD底面为正方形，已知PD⊥平面ABCD，PD=AD，点M为线段PA上任意一点（不含端点），点N在线段BD上，且PM=DN．
（1）求证：直线MN∥平面PCD；
（2）若PD=2，M为线段PA中点，求三棱锥P-MNB的体积．

Answer 1

分析 （1）延长AN，交CD于点G，连结PG，推导出MN∥PG，由此能证明直线MN∥平面PCD．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，由三棱锥P-MNB的体积V_P-MNB=V_M-PBN，能求出结果．

解答 证明：（1）延长AN，交CD于点G，连结PG，
由相似知$\frac{AN}{NG}=\frac{BN}{ND}=\frac{AM}{MP}$，
∴MN∥PG，
∵MN?平面PCD，PG?平面PCD，
∴直线MN∥平面PCD．
解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
则M（1，0，1），N（1，1，0），P（0，0，2），B（2，2，0），
$\overrightarrow{PM}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{PN}$=（1，1，-2），$\overrightarrow{PB}$=（2，2，-2），
设平面PNB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=2x+2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PN}=x+y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
点M到平面PBN的距离d=$\frac{|\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
S_△PNB=$\frac{1}{2}{S}_{△PBD}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴三棱锥P-MNB的体积V_P-MNB=V_M-PBN=$\frac{1}{3}×d×{S}_{△PBD}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．