题目内容

19．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）求Tn=a1b1+a2b2+…+anbn的值．

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，S4=8+6d，
由条件得方程组$\left\{\begin{array}{l}2+3d+2{q^3}=27\\ 8+6d-2{q^3}=10\end{array}$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}d=3\\ q=2\end{array}$，故an=3n-1，bn=2n（n∈N*）．
（2）Tn=2×2+5×22+8×23+…+（3n-1）×2n，①
2Tn=2×22+5×23+8×24+…+（3n-1）×2n+1，②
①-②，得：-Tn=2×2+3×22+3×23+…+3×2n-（3n-1）×2n+1，
∴Tn=8-8×2n+3n×2n+1．

点评 本题考査了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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