Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，直线y=$\frac{\sqrt{5}}{3}$b与椭圆C交于A、B两点．若四边形ABF₂F₁是矩形，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 四边形ABF₂F₁是矩形，即$\frac{{b}^{2}}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}b$，⇒$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，椭圆C的离心率e=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{2}{3}$．

解答 解：∵四边形ABF₂F₁是矩形，∴A（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），即$\frac{{b}^{2}}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}b$，⇒$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，
椭圆C的离心率e=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{2}{3}$．
故选：D

点评 本题考查了椭圆的离心率，属于中档题．