Question

已知f（x）=lg（ax）lg（

x2

a

）（a＞1），且
（1）若f（1）=-1，当x∈[

1

10

，100]，求f（x）的最值；
（2）若关于x的方程f（x）=-1的根都大于1，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）根据f（1）=-1，求出a，f（x）=（1+lgx）（2lgx-1），x∈[

1

10

，100]，转化为g（t）=2t²+t-1，t∈[-1，2]，求解．
（2）t=lgx，g（t）=2t²+lga•t-（lga）²+1，把关于x的方程f（x）=-1的根都大于1，转化为2t²+lga•t-（lga）²+1=0，有两个正根问题求解，借助二次函数性质列出条件．

解答： 解：（1）∵f（x）=lg（ax）lg（

x2

a

）（a＞1），f（1）=-1，
∴-（lga）²=-1，得a=10．a=

1

10

（舍去）
∴f（x）=（1+lgx）（2lgx-1），x∈[

1

10

，100]，
设t=lgx，t∈[-1，2]，
∴g（t）=2t²+t-1，t∈[-1，2]，
∵对称轴t=-

1

4

，根据二次函数的性质
g（-

1

4

）=-

9

8

，f（2）=9，
∴g（t）的最值小值为-

9

8

，最大值为为9，
即f（x）的最值小值为-

9

8

，最大值为为9，
（2）f（x）=lg（ax）lg（

x2

a

）（a＞1），
f（x）=2（lgx）²+lgalgx-（lga）²，
设t=lgx，g（t）=2t²+lga•t-（lga）²+1，
∵关于x的方程f（x）=-1的根都大于1，
∴2t²+lga•t-（lga）²+1=0，有两个正根，
∴

- lga 4 ＞0 △=9-8lg2a＞0 1-lg2a＞0

解得：-1＜lga＜0，即

1

10

＜a＜1，
故实数a的取值范围为：

1

10

＜a＜1，

点评：本题考查了换元法转化为二次函数求解最值，方程的根的分布问题，属于中档题．