Question

对于函数f（x）定义域内的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），有以下结论：
①f（0）=1； 
②f（x₁+x₂）=f（x₁）•（x₂）； 
③f（x₁•x₂）=f（x₁）+（x₂）；
④

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0； 
⑤f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

．
当f（x）=lgx时，上述结论中，正确的是

 

（填入你认为正确的所有结论的序号）

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用对数的基本运算性质进行检验：①根据对数的定义域可知，②f（x₁+x₂）=lg（x₁+x₂）≠f（x₁）f（x₂）=lgx₁•lgx₂，
③f（x₁•x₂）=lgx₁x₂=lgx₁+lgx₂=f（x₁）+f（x₂），④f（x）=log₂x在（0，+∞）单调递增，⑤根据对数的运算法则和基本不等式即可得到．

解答： 解：对于①，函数的定义域为（0，+∞），故f（0）无意义，∴①错误，
对于②当x₁=1，x₂=1时，f（x₁+x₂）=f（2）=lg10，f（x₁）•f（x₂）=lg1•lg1=0，∴②错误；
对于③f（x₁•x₂）=lg（x₁•x₂）=lgx₁+lgx₂=f（x₁）+f（x₂），∴③正确．
对于④f（x）=lgx在（0，+∞）单调递增，则对任意的0＜x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）即④

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0；∴④正确
对于④f（

x1+x2

2

）=lg

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

（lgx₁+lgx₂）=

1

2

lgx₁•x₂，
∵

x1+x2

2

≥

x1•x2

∴lg

x1+x2

2

≥

1

2

lgx₁•x₂，∴⑤错误．
故答案为：③④

点评：本题主要考查了对数的基本运算性质，对数函数单调性的应用，基本不等式的应用，属于知识的简单综合应用