Question

坛子中有6个阄，其中3个标记为“中奖”，另外三个标记是“谢谢参与”，甲、乙、丙三人份两轮按甲、乙、丙、甲、乙、丙的顺序依次抽取，当有人摸到“中奖”阄时，摸奖随即结束．
（1）若按有放回抽取，甲、乙、丙的中奖概率分别是多少？
（2）若按不放回抽取，甲、乙、丙的中奖概率分别是多少？
（3）按不放回抽取，第一轮摸奖时有人中奖则可获得奖金10000元，第二轮摸奖时才中奖可获得奖金6000元，求甲、乙、丙三人所获奖金总额ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）按有放回抽取，利用已知条件能求出甲、乙、丙的中奖概率．
（2）按不放回抽取，利用已知条件能求出甲、乙、丙的中奖概率．
（3）依题设知ξ的所有可能取值为6000，10000，分别求出相应的概率，由此能求出甲、乙、丙三人所获奖金总额ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）按有放回抽取，
甲中奖概率是：p₁=

3

6

+（1-

1

2

）（1-

1

2

）（1-

1

2

）•

1

2

=

9

16

，
乙中奖的概率是：p₂=（1-

1

2

）×

1

2

+（1-

1

2

）（1-

1

2

）（1-

1

2

）（1-

1

2

）•

1

2

=

9

32

，
丙中奖的概率是：p₃=（1-

1

2

）（1-

1

2

）•

1

2

+（1-

1

2

）（1-

1

2

）（1-

1

2

）（1-

1

2

）（1-

1

2

）•

1

2

=

9

64

．
（2）按不放回抽取，
甲中奖概率是：p₄=

3

6

+（1-

1

2

）（1-

3

5

）（1-

3

4

）×

3

3

=

11

20

，
乙中奖的概率是：p₅=（1-

1

2

）×

3

5

=

3

10

，
丙中奖的概率是：p₄=（1-

1

2

）×（1-

3

5

）×

3

4

=

3

20

．
（3）依题设知ξ的所有可能取值为6000，10000．
且由题设，得：P（ξ=6000）=（1-

1

2

）（1-

3

5

）（1-

3

4

）×

3

3

=

1

20

，
P（ξ=10000）=

3

6

+

3

10

+

3

20

=

19

20

．
故ξ的分布列为：

ξ	6000	10000
P	1 20	19 20

Eξ=6000×

1

20

+10000×

19

20

=9800．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．