Question

知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a²+b²=

3

2

c2，且sin2C=2sinAsinB．
（1）求角C的值；
（2）设函数f（x）=

3

cos(ωx-

π

6

)（ω＞0），且f（x）两个相邻最高点之间的距离为π，求ω以及f（A）的值域．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知第二个等式利用正弦定理化简得到c²=2ab，利用余弦定理表示出cosC，把各自的值代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）根据f（x）两个相邻最高点之间的距离为π，得到函数周期为π，利用周期公式求出ω的值，根据A的范围，利用余弦函数的值域确定出f（A）的值域即可．

解答： 解：（1）已知等式sin²C=2sinAsinB，利用正弦定理化简得c²=2ab，
∵a²+b²=

3

2

c²，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1 2 c2

c2

=

1

2

，
则C=

π

3

；
（2）∵f（x）两个相邻最高点之间的距离为π，
∴f（x）的周期为π，
∴

2π

ω

=π，ω＞0，即ω=2，
∴f（A）=

3

cos（2A-

π

6

），
∵0＜A＜

2π

3

，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

，
∴-1≤cos（2A-

π

6

）≤1，即-

3

≤

3

cos（2A-

π

6

）≤

3

，
则f（A）的值域为[-

3

，

3

]．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，以及周期公式，熟练掌握定理是解本题的关键．