Question

5．已知抛物线C₁：x²=2py（p＞0）的焦点为F，点F″与F关于x轴对称，直线l：y=2与抛物线C₁相交于A，B两点，与y轴相交于M点，且$\overrightarrow{F″A}$•$\overrightarrow{FB}$=-5．
（1）求抛物线C₁的方程；
（2）若以F″，F为焦点的椭圆C₂过点（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
①求椭圆C₂的方程；
②过点F的直线与椭圆C₂相交于P，Q两点，且$\overrightarrow{PF}$=2$\overrightarrow{FQ}$，求|$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$|的值．

Answer 1

分析 （1）用p表示出$\overrightarrow{F″A}$，$\overrightarrow{FB}$的坐标，代入向量的数量积公式列方程解出p即可；
（2）①使用待定系数法列方程解出椭圆方程；
②设直线PQ的方程，联立方程组得出P，Q的坐标关系，根据$\overrightarrow{PF}$=2$\overrightarrow{FQ}$列方程解出直线PQ的斜率k，求出PQ的中点N，则|$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$|=|2$\overrightarrow{MN}$|．

解答 解：（1）F（0，$\frac{p}{2}$），F″（0，-$\frac{p}{2}$）．A（-2$\sqrt{p}$，2），B（2$\sqrt{p}$，2）．
∴$\overrightarrow{F″A}$=（-2$\sqrt{p}$，2+$\frac{p}{2}$），$\overrightarrow{FB}$=（2$\sqrt{p}$，2-$\frac{p}{2}$）．
∴$\overrightarrow{F″A}•\overrightarrow{FB}$=-4p+4-$\frac{{p}^{2}}{4}$=-5，解得p=2．
∴抛物线C₁的方程为x²=4y．
（2）①由（1）得F（0，1），F″（0，-1）．设椭圆C₂的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=1}\\{\frac{\frac{1}{2}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{3}{4}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=2}\\{{b}^{2}=1}\end{array}\right.$．
∴椭圆C₂的方程为：$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1$．
②设过点F的直线方程为：y=kx+1，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，消元得：（k²+2）x²+2kx-1=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{2k}{{k}^{2}+2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{{k}^{2}+2}$．
∵$\overrightarrow{PF}$=（-x₁，1-y₁），$\overrightarrow{FQ}$=（x₂，y₂-1），$\overrightarrow{PF}=2\overrightarrow{FQ}$，
∴-x₁=2x₂，
∴-x₂=-$\frac{2k}{{k}^{2}+2}$，-2x₂²=-$\frac{1}{{k}^{2}+2}$．
∴2$\frac{4{k}^{2}}{（{k}^{2}+2）^{2}}$=$\frac{1}{{k}^{2}+2}$．解得k²=$\frac{2}{7}$．即k=±$\frac{\sqrt{14}}{7}$．
设PQ的中点为N（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
则当k=$\frac{\sqrt{14}}{7}$时，N（-$\frac{\sqrt{14}}{16}$，$\frac{7}{8}$），∴$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{\sqrt{14}}{16}$，-$\frac{9}{8}$）．
∴|$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$|=|2$\overrightarrow{MN}$|=2$\sqrt{（\frac{\sqrt{14}}{16}）^{2}+（\frac{9}{8}）^{2}}$=$\frac{13\sqrt{2}}{8}$．
同理可得：当k=-$\frac{\sqrt{14}}{7}$，|$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}$|=$\frac{13\sqrt{2}}{8}$．
∴|$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}$|=$\frac{13\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题考查了圆锥曲线的性质，直线与圆锥曲线的关系，属于中档题．