Question

15．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-mlnx，g（x）=x²-（m+1）x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当m≥1时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），问题等价于求F（x）的零点个数，结合函数的单调性以及m的范围，求出即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x-$\frac{m}{x}$=$\frac{{x}^{2}-m}{x}$，
m≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
m＞0时，$f'（x）=\frac{{（x+\sqrt{m}）（x-\sqrt{m}）}}{x}$，…（2分）
当$0＜x＜\sqrt{m}$时，f'（x）＜0，函数f（x）的单调递减，
当$x＞\sqrt{m}$时，f'（x）＞0，函数f（x）的单调递增．
综上：m≤0时，f（x）在（0，+∞）递增；
m＞0时，函数f（x）的单调增区间是$（\sqrt{m}，+∞）$，减区间是$（0，\sqrt{m}）$．…（5分）
（2）令$F（x）=f（x）-g（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+（m+1）x-mlnx，x＞0$，
问题等价于求函数F（x）的零点个数，…（6分）
$F'（x）=-\frac{（x-1）（x-m）}{x}$，当m=1时，F'（x）≤0，函数F（x）为减函数，
注意到$F（1）=\frac{3}{2}＞0$，F（4）=-ln4＜0，所以F（x）有唯一零点；…（8分）
当m＞1时，0＜x＜1或x＞m时F'（x）＜0，1＜x＜m时F'（x）＞0，
所以函数F（x）在（0，1）和（m，+∞）单调递减，在（1，m）单调递增，
注意到$F（1）=m+\frac{1}{2}＞0$，F（2m+2）=-mln（2m+2）＜0，
所以F（x）有唯一零点；         …（11分）
综上，函数F（x）有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．